符号数在计算机中的表示方法

计算机中符号数常用的表示方法：

• 原码
• 反码
• 补码

这三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用 0 表示 “+”，用 1 表示 “-“。而数值位，三种表示方法各不相同。

1. 原码

原码是指一个二进制数左边加上符号位后所得到的码，即最高位为符号位。

• 当二进制数大于 0 时，符号位为 0

• 当二进制数小于 0 时，符号位为 1

• 当二进制数等于 +0 时，符号位为 0

• 当二进制数等于 -0 时，符号位为 1

例如，用 8 位二进制表示一个数：

+10D = 00001010B

-10D = 10001010B

+127D = 01111111B

一个 n 位的原码，可以表示 ${2}^n$ 个数（此时 +0 和 -0 分别为两个不同的数）。

数值范围是 $[-({2}^{n-1} - 1),{2}^{n-1} - 1]$。

2. 反码

反码表示法规定，正数的反码等于其原码，而负数的反码是对原码的数值位按位取反，并保留其符号位。

例如，对二进制原码 10001010 求反码：

10001010(原码) = 11110101(反码)

在多数计算机中不采用反码表示数值。

3. 补码

在了解补码之前，先来看下，如果使用原码直接参与加减法运算会得到什么结果：

00000010 + 00000010 = 00000100，即 2 + 2 = 4，结果正确
00000010 + 10000010 = 10000100，即 2 + (-2) = -4，结果错误

可见原码的符号位不能直接参与运算，必须与其他位分开，这就增加了硬件的开销和复杂性。

3.1 补码的定义

正数和 0 的补码就是该数字本身，而负数的补码是对原码的数值位按位取反再加 1。

3.2 补码的运算

补码的符号位可以直接参与运算，例如：

  (0000) 0000 0010 (2D)
+ (0000) 1111 1110 (-2D)
------------------------
  (0001) 0000 0000 (0D)

结果正确

  (0000) 0000 0010 (2D)
+ (0000) 1111 1111 (-1D)
------------------------
  (0001) 0000 0001 (1D)

结果正确

  (0000) 0000 0010 (2D)
+ (0000) 1111 1101 (-3D)
------------------------
  (0000) 1111 1111 (-1D)

结果正确

3.3 补码的数值范围

在原码系统中，0 有两种表示方式（以 32 位的整数类型为例）：

正零：0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

负零：1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

按照负数补码的计算方法，对负零原码的数值位按位取反再加 1，可得：

(0001) 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

由于溢出，可知正零和负零的补码是相同的，没必要区分正零和负零。

所以，在补码系统中，0只有一种表示方式。

因此，在32位的整数类型中，多出了一个数：

1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

同时，在补码系统中，我们知道符号位可以直接参与运算：

  (0000) 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 (-2147483647D)
+ (0000) 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 (-1D)
---------------------------------------------------------------
  (0001) 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 (-2147483648D)

于是，在补码系统中，$1$$\underbrace{ 00\cdots00 }_{n-1}$ 就表示了 n 位整数类型的最小值。

一个 n 位的补码，可以表示 $2^n$ 个数，其数值范围是 $[{-2}^{n-1},{2}^{n-1} - 1]$。

参考：

https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_number_representations

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%AC%A6%E8%99%9F%E6%95%B8%E8%99%95%E7%90%86